2017年12月 3日 (日)

アインシュタインの有名な論文「動いている物体の電気力学(Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905)」におけるマクスウェル・ヘルツの方程式の形式化(マクスウェル・ヘルツの方程式のローレンツ変換不変を検証する)

Karakida_2

唐木田健一著『原論文で学ぶアインシュタインの相対性理論』


(以下『EMAN の数式掲示板』より)

唐木田健一著『原論文で学ぶアインシュタインの相対性理論(P.127)』 および 原論文『運動している物体の電気力学(Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905 P.907)』より

Relativity_karakida_blog_fig_1


Naganuma

長沼伸一郎著『物理数学の直観的方法』


Maxwells_equations_20171203_1

静止系 K におけるマクスウェル・ヘルツの方程式を、上式(1)〜(6) とする。

Maxwells_equations_20171203_2

x 軸に沿って x のプラスの方向に速度 v で運動している運動系 k におけるマクスウェル・ヘルツの方程式を、上式(7)〜(12) とする。

今、私たちは、静止系 K におけるマクスウェル・ヘルツの方程式(1)〜(6) が、運動系 k におけるマクスウェル・ヘルツの方程式(7)〜(12) から見て、どのように見えるのかを知りたい。


ところで、下図は、長沼伸一郎著『物理数学の直観的方法』の「ベクトルの rot と電磁気学(P.66)」から導いた(つもり)。(これは本当は、6つに分けなければならない? 記号の使い方はテキトーです)

Relativity_annalen_der_physik_fig_3

上図 1, 2, 3 に、

Maxwells_equations_20171203_1

上式(1)〜(6) が当てはまるような気がする。

次に、

Maxwells_equations_20171203_3

上式(13) (16) は、図1の「水車」の上を、その「水車」とは逆の方向に、その「水車」の回転速度と同じ速度で走っている人の「慣性系」を仮定すると、なんとなく当てはまりそうな気がします。
式(14) (15) (17) (18) は、式(13) (16) にローレンツ逆変換を代入したもののように思えますが(←これはトンデモナイ!)。

【補足】

ともかく、

_p78_20171206_2

式(13)〜(19) は、

http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/11/post-3cb3.html における式(1)〜(6) に合致しており(ただし V = c、下記参照のこと)、

_p78_20171206

アインシュタイン著「相対性理論」内山龍雄訳「ローレンツ変換式をマクスウェル・ヘルツの方程式に適用した式(41ページ)」とも合致している(下記画像参照のこと)。

Maxwells_equations_20171206_blog_1




私は『運動している物体の電気力学(Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905』において、下記さえ言えれば、その前のページまでは前置きだと思いますが・・・

Maxwells_equations_20171216_1

↑すなわち、この逆変換を

Maxwells_equations_20171203_3

に代入したら、

Maxwells_equations_20171216_2

になる。
検算したらそうなりました。当たり前ですが。

【追加】

あの〜、もしかして、下の方の6行は、ただ(13)〜(18)の式の v をゼロにして、電場、磁場にダッシュをつけただけじゃ無いですか。これは何? 当たり前か?
これだから、マクスウェルの方程式に、ローレンツ変換式を当てはめるのは難しい・・・しかし、その難しさを見破らなければならない。
というか、私は電磁気学をもっと勉強しなければならない。私は『趣味で物理学』の第3章「電磁方程式をいじりまわせ」を、ほとんどわかっていない。

(EMAN の数式掲示板より)

2017年11月24日 (金)

『趣味で相対論』第2章第9節「マクスウェル方程式が不変となる変換」について

Relativity_eman_p76

広江克彦著『趣味で相対論』


第2章第9節「マクスウェル方程式が不変となる変換(P.78, 79)」における変換式(1〜6)の逆変換式(7〜13)の求め方が分からなかったが「EMAN の数式掲示板」から助言を得てやっとできた。

_p78_20171206


2017年5月29日 (月)

電磁ポテンシャル(3)/電磁テンソルについての考察

【以下、数学的に正確な記述ではないですが・・・】

Electromagnetic_tensor_2017529_3_1
Electromagnetic_tensor_2017529_temp

【補足】

Electromagnetic_tensor_20170601_5


【2017−6−10 補足】

Electromagnetic_tensor_20170611_2

↑こんな感じ。

2017年5月19日 (金)

電磁気学において押さえておきたいこと/電磁気学は奥が深い

3.14 力学との接点

 そもそも電場 E や磁場 B は何だったのかということについて再確認しておこう。
 電場 E はもともと、電荷 q を空間に置いたときに、

F = q E

と表される力を受けるということによって定義されたものであった。これが力学と電磁気学の接点である。
 一方、磁場はどのように定義されたかと言えば、電場のように単純ではない。元はと言えば電流の周りで磁針が向きを変えることから、電流の周りには磁石に影響を与える場が存在するという考えが生まれたのであった。磁石と磁石の間に力が働くという事実だけでは磁石そのものに注目していまい、わざわざ「場」の考えを受け入れるのは難しかったであろう。
 小さい頃に行った科学館に「磁界」と名付けられた展示物があった。工学分野では磁場のことを磁界と呼ぶのである。これは磁場の存在を視覚的に表すために巨大な磁石の周りに多数の小さな方位磁針を敷き詰めたものだったが、私は「磁石が磁石に引かれてそれぞれの位置である一定の向きを向いているのは当然じゃないか? わざわざそれを磁界と表現するのは変じゃないか」と思いながら見ていたもんだ。この頃の幼い私は直接働く力を支持していたことになる。
 しかしこの考え方は本質を遠ざけている。磁石というのは突き詰めていけば微小な分子電流によって作り出されているのであって、電流によって作り出された磁場が分子電流に力を及ぼしているのだという考え方が出来る。実際、電流間には力が働くことが示されており、これは運動する電荷に働くローレンツ力として説明できるのだった。
 つまり、磁場と力学との接点は、

F = q v × B

という式だけで表されるということだ。
 これらの式は一つにまとめられて、

F = q ( E + v × B )

と表される。
 マックスウェルの方程式は電磁場の性質を表したものであるが、そこには力学は入っていない。力学と電磁学を関連付けるには、マクスウェルの方程式とは別にこの式が必要なのである。言い型を変えれば、マクスウェルの方程式の中で E やら B を使っている段階ですでにこの関係を前提としているわけだ。
 この辺りの関係は再確認しておかないと時々忘れてしまいそうになる。

 我々はこれまで静電気や磁石の存在を手がかりにして電磁気の性質を理解してきた。それで「電場は電気に関する関する場」「磁場は磁気に関する場」と明確に区別されたイメージを持ってしまっている。
 しかしこの式を見る限り、両方とも電荷に働く場として表されていることが分かる。電場とは運動状態に関わりなく電荷に働く力の場であり、運動している電荷に働く力の場が磁場である。
 電荷と電荷の相対速度が0であるときには電場のみが働くが、相対速度を持っている場合にはそれに加えて磁場による効果も働く。
 結局、電荷同士に働く力を便宜上、電場や磁場という言葉を使って表していたにすぎないなかったのか、と思えるかも知れないが、この考えはこれまでの議論で否定されていることを思い出そう。「電気力学」は電場や磁場の存在を取り払って電荷同士に働く力を理解できないかということを試みようとして失敗したのであった。電磁場はそれ自体が独立して存在し、それを考えなくては運動量の保存が成り立たないし、電磁波の存在も説明できないのであった。
 やはり電荷同士には、電磁場を通して力を及ぼし合っているのである。
(広江克彦著「趣味で物理学」 P.193〜194 より)

マクスウェル方程式、再確認

Maxwells_equations

 この式の中で、E は電場であり、他はそれぞれ、 D が電束密度、H が磁場、B が磁束密度と呼ばれる。

E : 電場 H : 磁場 D : 電束密度 B : 磁束密度

 それぞれの意味はこの後の解説で述べるが、ここで少し問題がある。それは、言葉だけ聞くと E に対応するのが H であって、D に対応するのが B であるように思われることである。しかし、現代では EB が対応していると考えるのが主流である。これは電磁気学の「あまり深刻ではない」未解決問題であって、磁石の N だけ、あるいは S だけを持った粒子「磁気モノポール」の存在があるのかないのか分からないことが原因である。
 もしモノポールが存在すれば、EH が対応していると考えるのがすっきりする。(上のマクスウェルの方程式で 0 になっている二つの部分にそれぞれ、磁流密度磁荷密度が入るので大変美しい対称型の方程式になるから。)しかし、モノポールがなければ、別にこの対応に強い根拠はなくて、EB を対応させた方が相対論の議論に便利である。(相対論ではマクスウェルの方程式をもっと簡単にまとめて表現できるから)それで「E - B 対応」が主流になっているのである。
(広江克彦著「趣味で物理学」 83〜84ページより)

2017年5月 7日 (日)

いまさらながら、静電場の満たす2つの重要な式(微分形のガウスの法則と rot E = 0)が分からなくなった(汗;

Gauss_law

(下に続く)

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電磁ポテンシャル(2)/電磁ポテンシャルの4元ベクトル成分からローレンツ変換式のアナロジーを得る(?)

やっぱり、下の説明が分かりやすいので、再度掲示します(2度目)。

Index

Vector_potential1_2

Vector_potential2

Electromagnetic_fourpotential_2_3

Vector_potential3

Index1

Index2

(C) 前野昌弘先生による「ベクトルポテンシャルとは何ぞや?」より


Electromagnetic_fourpotential_2_3


Electromagnetic_fourpotential_2_3

(下に続く)

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2017年4月29日 (土)

【メモ】 電荷はスカラーポテンシャルを、電流はベクトルポテンシャルを作る。ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルによって電磁的な位置エネルギーが決定される

「ベクトルポテンシャル」というのが電磁気学において非常に重要な事柄であるにもかかわらず、私はそれが、はっき言って、全然分かりませんでした。しかし、下記ページの(複数の)イメージ、および、ご説明は分かりやすいと思いました。


【参考画像】

Vector_potential1_2

Vector_potential2

Vector_potential3

Index1

Index2

(C) 前野昌弘先生による「ベクトルポテンシャルとは何ぞや?」より

電荷はスカラーポテンシャルを、電流はベクトルポテンシャルを作る。ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルによって電磁的な位置エネルギーが決定される。


【追伸】

上記画像の引用・使用、および、前野昌弘先生の当該ページへのリンクにつきましては、前野先生から、快い承諾を頂きました。

上記画像とにらめっこしながら「電磁気学」「ベクトルポテンシャル」の学習を私は続けて行きたいと思います。

先生、どうもありがとうございました。


【2017−4−29 追加】

やっと分かりやすい説明に出会ったと思ったら・・・意外に難しい(汗;;


2017年4月28日 (金)

【メモ】 広江克彦先生著「趣味で物理学」で電磁気学を学習する(その2)ローレンツ力、磁化ベクトル、および、微分形のアンペールの法則/ページが前後してすみません(汗;;

Hendrik_antoon_lorentz
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)

ヘンドリック・アントーン・ローレンツ(Hendrik Antoon Lorentz、1853年7月18日 - 1928年2月4日)は、オランダの物理学者。ゼーマン効果の発見とその理論的解釈により、ピーター・ゼーマンとともに1902年のノーベル物理学賞を受賞した。ローレンツ力、ローレンツ変換などに名を残し、特に後者はアルベルト・アインシュタインが時空間を記述するのに利用した。(ウィキペディアより)

ローレンツ変換のローレンツさんとローレンツ力のローレンツさんは同じ人だったのか(!)


以下、広江克彦先生著「趣味で物理学」より

2.9 ローレンツ力(抄)

 前の節は電流によって磁場が発生するという話であったが、この節では逆に、磁場によって電流が力を受けるという話をする。

(中略)

1A(アンペア)の定義:1m 離して置いた同じ大きさの平行に流れる電流の間に働く力 1m あたり 2× 10-7 N(ニュートン)であるとき、この電流の大きさを 1A とする(P. 112)。(ついでに、1クーロンの定義:電流は電荷の流れであり、1秒間に1クーロンの電荷が流れている状態が1アンペアだと言えるようにクーロンの単位を決めたのである。では1アンペアの定義はどうなっているかと言えば、電流同士の間に働く力を元に定義されている。1メートル離して置いた2本の導線にそれぞれ同じ量の電流を流し、その間に働く力が1メートルあたり 2× 10-7 ニュートンであるとき、その電流を1アンペアとしている。P. 87)

Lorentz_force_20170428_02

(広江克彦著「趣味で物理学」111〜114ページより)


Magnetization_20170428

【注意】 「磁化ベクトル」について著者による補足説明が付いてます:「上の説明はすっきりしていて気に行っているのだが、少し難点がある(以下省略)」

※ ページが前後してすみません。実際、私は同書を行ったり来たりして読んでます(汗;;

(広江克彦著「趣味で物理学」114〜117ページより)


Amperes_circuital_law_20170504_2

 これは電流密度が存在するところではその周りに微小な右回りの磁場の渦が生じているということ表している。これを「微分形のアンペールの法則」と呼ぶ。注意すべきことは今の段階では右辺の電流密度が時間的に変動しない場合のみを考えているということである。

(広江克彦著「趣味で物理学」110ページより)

ベクトルポテンシャルB = rot AA)(同書108ページ)」というものを導入すると「微分形のアンペールの法則」が導かれる。ただし、その「微分形のアンペールの法則」は電流密度が時間的に変動しない場合のみを考えているということに注意をしなければならない・・・ということですね?

そして、同書「第2章 電磁気学」の最後の節「2.12 マクスウェル方程式の完成(123ページ)」の「アンペール・マクスウェルの法則」を導くところで「先ほどアンペールの法則の式の両辺について div を計算したときにこの関係式 div i = - ∂ρ/∂t が出てこなかったということは事実と矛盾しているのである」と書いてあるのは上記の事を指してあるのでしょうか?


【余談】

ところで、アンペールさんが、アンペアという単位を定義したとすれば、その当時、つまり19世紀初めに「1メートル離して置いた2本の導線にそれぞれ同じ量の電流を流す」ということが、実験的に(技術的に)できたというのが「スゴい!」と思う。「その日アンペールはアカデミーの面々の前で、2本の導線を並行におき、それらに電流を流すと2本の導線が引き合ったり反発しあったりするという実験を披露した(電流の向きによって動きが変わる)」。アンドレ=マリ・アンペール(André-Marie Ampère, 1775-1836)ウィキペディアより。あるいは、後の時代の人が、アンペール(の業績)をリスペクトして、彼の名をその単位の呼称としたか?

Ampere
André-Marie Ampère (1775-1836)

Maxwell_2
James Clerk Maxwell (1831-1879)


【参考】

ベクトルポテンシャル(ウィキペディアより)

2017年4月22日 (土)

【メモ】 広江克彦先生著「趣味で物理学」で電磁気学を学習する(その4)透磁率/そもそも、なぜ私が「電磁気学」を学ぶのか?

「透磁率」が分からなくなったので、メモします。
Magnetic_permeability

(広江克彦著「趣味で物理学」116〜118ページより)

Physics


【参考1】

磁化率

(ウィキペディアより)

↑この話は、本当に、電束密度の場合と似てますね。

B - Pm = μ0H

ε0E = D - P


【参考2】

分極

分極(ぶんきょく)とは、
1. 電荷の分極 (物理現象):誘電分極 (電気分極) に詳しい。
2. 磁極の分極 (物理現象):磁気分極 に詳しい。
3. 有機化学における化学結合の分極:分極と化学結合に詳しい。
3. 電気化学における電極の分極:電気化学的分極を参照。

(ウィキペディアより)

(下に続く)


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