2017年12月 3日 (日)

アインシュタインの有名な論文「動いている物体の電気力学(Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905)」におけるマクスウェル・ヘルツの方程式の形式化(マクスウェル・ヘルツの方程式のローレンツ変換不変を検証する)

Karakida_2

唐木田健一著『原論文で学ぶアインシュタインの相対性理論』


(以下『EMAN の数式掲示板』より)

唐木田健一著『原論文で学ぶアインシュタインの相対性理論(P.127)』 および 原論文『運動している物体の電気力学(Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905 P.907)』より

Relativity_karakida_blog_fig_1


Naganuma

長沼伸一郎著『物理数学の直観的方法』


Maxwells_equations_20171203_1

静止系 K におけるマクスウェル・ヘルツの方程式を、上式(1)〜(6) とする。

Maxwells_equations_20171203_2

x 軸に沿って x のプラスの方向に速度 v で運動している運動系 k におけるマクスウェル・ヘルツの方程式を、上式(7)〜(12) とする。

今、私たちは、静止系 K におけるマクスウェル・ヘルツの方程式(1)〜(6) が、運動系 k におけるマクスウェル・ヘルツの方程式(7)〜(12) から見て、どのように見えるのかを知りたい。


ところで、下図は、長沼伸一郎著『物理数学の直観的方法』の「ベクトルの rot と電磁気学(P.66)」から導いた(つもり)。(これは本当は、6つに分けなければならない? 記号の使い方はテキトーです)

Relativity_annalen_der_physik_fig_3

上図 1, 2, 3 に、

Maxwells_equations_20171203_1

上式(1)〜(6) が当てはまるような気がする。

次に、

Maxwells_equations_20171203_3

上式(13) (16) は、図1の「水車」の上を、その「水車」とは逆の方向に、その「水車」の回転速度と同じ速度で走っている人の「慣性系」を仮定すると、なんとなく当てはまりそうな気がします。
式(14) (15) (17) (18) は、式(13) (16) にローレンツ逆変換を代入したもののように思えますが(←これはトンデモナイ!)。

【補足】

ともかく、

_p78_20171206_2

式(13)〜(19) は、

http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/11/post-3cb3.html における式(1)〜(6) に合致しており(ただし V = c、下記参照のこと)、

_p78_20171206

アインシュタイン著「相対性理論」内山龍雄訳「ローレンツ変換式をマクスウェル・ヘルツの方程式に適用した式(41ページ)」とも合致している(下記画像参照のこと)。

Maxwells_equations_20171206_blog_1




私は『運動している物体の電気力学(Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905』において、下記さえ言えれば、その前のページまでは前置きだと思いますが・・・

Maxwells_equations_20171216_1

↑すなわち、この逆変換を

Maxwells_equations_20171203_3

に代入したら、

Maxwells_equations_20171216_2

になる。
検算したらそうなりました。当たり前ですが。

【追加】

あの〜、もしかして、下の方の6行は、ただ(13)〜(18)の式の v をゼロにして、電場、磁場にダッシュをつけただけじゃ無いですか。これは何? 当たり前か?
これだから、マクスウェルの方程式に、ローレンツ変換式を当てはめるのは難しい・・・しかし、その難しさを見破らなければならない。
というか、私は電磁気学をもっと勉強しなければならない。私は『趣味で物理学』の第3章「電磁方程式をいじりまわせ」を、ほとんどわかっていない。

(EMAN の数式掲示板より)

2017年11月24日 (金)

『趣味で相対論』第2章第9節「マクスウェル方程式が不変となる変換」について

Relativity_eman_p76

広江克彦著『趣味で相対論』


第2章第9節「マクスウェル方程式が不変となる変換(P.78, 79)」における変換式(1〜6)の逆変換式(7〜13)の求め方が分からなかったが「EMAN の数式掲示板」から助言を得てやっとできた。

_p78_20171206


2017年10月11日 (水)

アインシュタインの有名な論文「動いている物体の電気力学 Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905」におけるアインシュタインのローレンツ変換式の求め方およびその考え方について

𝔄𝔩𝔟𝔢𝔯𝔱 𝔈𝔦𝔫𝔰𝔱𝔢𝔦𝔫

Uchiyama

相対性理論 (岩波文庫) 文庫 – 1988/11/16
A. アインシュタイン (著), 内山 龍雄 (翻訳)


【以下、原論文すなわち相対性理論・内山龍雄先生訳・岩波文庫 P.27 より引用】

Lorentz_transformation_20171109

Lorentz_transformation_20171028_blo


次に、

Lorentz_transformation_20171028_b_2


以下は余所のホームページから引用させて頂きました。

Lorentz_transformation_20191021_b_8


ただし

Lorentz_transformation_20191025_blo


【補足】

Lorentz_transformation_20171105_2

次に

Lorentz_transformation_20171106


2017年10月 5日 (木)

ノーベル物理学賞「重力波」初観測 米の研究者3人に(2017年10月3日)

ノーベル物理学賞「重力波」初観測 米の研究者3人に

ことしのノーベル物理学賞に、巨大な観測施設「LIGO(ライゴ)」を建設して、宇宙空間にできた「ゆがみ」が波となって伝わる現象、いわゆる「重力波」の初観測の成功に貢献した、アメリカの研究者3人が選ばれました。(2017年10月3日 22時22分 NHK オンラインより)

(下に続く)

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2017年8月31日 (木)

【復習】 光時計

Lorentz_mirror_7


Time_dilation_20170831


中野董夫著「物理入門コース 9 相対性理論」 P.77 より

2017年6月24日 (土)

【メモ】 エネルギー運動量テンソルを確認する

Energymomentum_tensor_20170624

(下に続く)

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2017年5月29日 (月)

電磁ポテンシャル(3)/電磁テンソルについての考察

【以下、数学的に正確な記述ではないですが・・・】

Electromagnetic_tensor_2017529_3_1
Electromagnetic_tensor_2017529_temp

【補足】

Electromagnetic_tensor_20170601_5


【2017−6−10 補足】

Electromagnetic_tensor_20170611_2

↑こんな感じ。

2017年4月18日 (火)

【メモ】 広江克彦先生著「趣味で物理学」で電磁気学を学習する(その3)電場ベクトルは「共変ベクトル」

Electric_field

(広江克彦著「趣味で物理学」98ページより)

 要するに、スカラー量を座標で偏微分して作られているベクトルは皆、この変換則に従う共変ベクトルだということだ。
 例えば電場ベクトルなんかがそうだ。電場はスカラー量である電位φを座標で偏微分したものだからである。他に多くは思い付かないが、共変ベクトルを身近に感じるにはこれだけでも十分だろう。

(中略)

 ベクトルそのものには反変とか共変とかいう区別はなくて、ベクトルの成分表示の仕方に二通りあると言った方が良いのである。だから「反変ベクトル」「共変ベクトル」という言葉を使うより、本当は「ベクトルの反変成分」「ベクトルの共変成分」という呼び方をした方が誤解がなくていいかも知れない。

(広江克彦著「趣味で相対論」87ページより)

もしかして、やっと共変ベクトルが分かったような気がする(汗;;

2017年2月27日 (月)

【メモ】 一番簡単な E=mc2の導き方。ただし「テイラー展開」を使う。広江克彦先生の「趣味で相対論」より(2016年6月29日)/【2017−2−27 追加】 佐藤勝彦先生の相対性理論(岩波基礎物理シリーズ 9)より/このエントリーはこんがらがってしまった(汗;;

以下、広江克彦先生の「趣味で相対論」35〜39ページより無断で抜粋させて頂きます。誠に申し訳ありませんが宜しくお願い致します。

1.10 E=mc2を導く(抄)

(4元運動量)

 前節では4元速度を定義したが、4元速度は素人には使い道がないので確かにつまらない。ではこれを4元運動量に拡張してやったらどうだろう。力学で、速度と質量を掛け合わせることで運動量を定義したように、4元速度と質量を掛け合わせることで「4元運動量」を作るのだ。これには意外な結果が待っている。
 しかし運動量を作るために4元速度と質量を掛け合わせただけでは不都合がある。それは単位の次元の問題である。普通の速度は距離を時間で割ったものだが、4元速度は距離を「固有時」で割ったものである。固有時は時間に光速度 c を掛けて長さの単位に合わせたものであった。つまり、4元速度は長さを長さで割っていることになるので無次元量になってしまっている。時間を長さの単位で表すために掛けた光速度 c の分だけ割りすぎているのである。そこで4元運動量を定義する際に、その分を掛けて単位をちゃんと普通の運動量の単位に合わせておくことにしよう。
 本来こういうことは4元速度の定義のところで光速度 c を掛けて調整しておくべきなのだが、今回は話の流れ上、私が学生時代に愛読していた本に従った。それで、そのツケが4元運動量の定義の部分に回ってきただけの話である。教科書によってはちゃんと4元速度に光速度 c を掛けて定義してあるものもある。
 とにかく、次のように4元運動量 (p0, p1, p2, p3) を定義しよう。

(p0, p1, p2, p3)=(mcu0, mcu1, mcu2, mcu3)

これは4元速度に mc を掛けただけなので当然次のような組み合わせは不変量になる。

(mc)2=(p0)2-(p1)2-(p2)2-(p3)2

 前に出てきた 4 元速度についての式の両辺に (mc)2 を掛けてやっただけだ。この式はしっかり意味を考えて見なくてはならない。p のすぐ右上についている数字はべき乗を表すのではなく、ただの添え字である。そして、括弧の外についている「2」は、2 乗を表している。

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

おそらく、33ページの

2=dw2-dx2-dy2-dz2

1=(dw/dτ)2-(dx/dτ)2-(dy/dτ)2-(dz/dτ)2

の両辺に (mc)2 を掛けた

(ただし、w=ct)

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

(中略)

(mc)2=(p0)2-p2

 残る問題は「では p0 の正体は何でしょう?」という点だけである。それを探ってやるために、この式を p0 について解くことをしてやれば、

p0=√{(mc)2+p2}
=mc√{1+p2/(mc)2}

さらにこのルートの中身は p2 が (mc)2 に比べて非常に小さい時には次のような近似で展開できる。こういう計算に慣れていない人は微分の教科書で「テイラー展開」なんかの項目を参考にして欲しい。

p0=mc(1+p2/2(mc)2+...)
=mc+p2/2mc+...

ここまで来たら、そろそろ気付いて欲しいものだ。この式の右辺の第2項は力学に出てくる運動エネルギーの式

E=(1/2)mv2=p2/2m

に似ている、と。ただ分母に c が余分なだけである。すると、この式全体に c を掛けてやれば、これはエネルギーについての式になるのではないか。

E=p0c=mc2+p2/2m...

 ここで p0 の正体は「物体の持つ全エネルギー E を c で割ったもの」だったのだ、と解釈することにしよう。もし、p=0 であるならば、物体が動いていない時のエネルギーを表しており、それが E=mc2 となるわけだ。有名な公式はこうして導かれるのである。しかし当時、この式を根拠にして「物体は静止しているだけでエネルギーを持つ」と言い切ってしまうのはなかなか勇気の要る事だったろうと思う。

 すぐ上の式は運動量が 0 に近いときの近似式に過ぎないので、どんな場合にでも成り立つ正確な表現にしたければ、次のように書くべきだろう。

E2=(mc2)2+(pc)2

 この式は非常に面白い。と言うのも、もし、m=0 だとすると E=pc となるが、これは電磁気学で導かれるところの、電磁波の持つ運動量とエネルギーの関係式と同じになっているのである。このことから光の質量は0であると考えられるようになった。光のエネルギーと物質のエネルギーが一つの式でまとまめて表わされるようになったというわけだ!

 いや、しかし質量とは何だったろうか。それはニュートン力学で定義された概念であって、加速も減速もしないような光に対してはそもそも当てはめることのできない考えだったはずなのだ。だから光の質量などと言うのは、どうにもおかしなお話である。

 ところが20世紀初めには光を「質量0の粒子」であると受け入れることで、大変都合良く素粒子を分類できたのである。質量が小さい粒子ほど、ほんの小さなエネルギーだけで光速度近くまで加速してしまい、めったに止まることがない。光の粒子というのはそのような状態の極限的存在であると考えることにしても話が合うわけだ。要するに、光の質量は「便宜上」0なのである。

(2016年6月29日)

(下に続く)

(上の続き)

以下、『EMANの物理学』 テイラー展開 具体例 5 より抜粋

Massenergy_equivalence

(2017年12月13日)

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2017年2月19日 (日)

【memo】 ローレンツ変換の行列表現と「基本テンソル」/いまだに、テンソルという物が、分からない/そろそろ分かってもいいのになぁ(泣;;(その2)/添字の使い方が、分からん

(http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/01/post-aed9.html の続き

==

これは前にも書いたが・・・私は電子ピアノを持っている。が、私はそれを弾けない。しかし「ある日突然、ある曲の一部が弾けるようになった」という経験も皆無ではない・・・ので、以下にメモって置く。そうすれば「ある日突然、分かる」ということもあるかも知れない。


「アインシュタインの規約(Einstein summation convention)」には、ほんの少し慣れてきたが、下記の演算はまだ分からない(汗;;



Tensor_4

なんで、これを、

Tensor_2

と、書くのか・・・

(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店 114ページより)


Tensor_6

(下に続く)

続きを読む "【memo】 ローレンツ変換の行列表現と「基本テンソル」/いまだに、テンソルという物が、分からない/そろそろ分かってもいいのになぁ(泣;;(その2)/添字の使い方が、分からん" »

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