2017年4月18日 (火)

【メモ】 広江克彦先生著「趣味で物理学」で電磁気学を学習する(その3)電場ベクトルは「共変ベクトル」

Electric_field

(広江克彦著「趣味で物理学」98ページより)

 要するに、スカラー量を座標で偏微分して作られているベクトルは皆、この変換則に従う共変ベクトルだということだ。
 例えば電場ベクトルなんかがそうだ。電場はスカラー量である電位φを座標で偏微分したものだからである。他に多くは思い付かないが、共変ベクトルを身近に感じるにはこれだけでも十分だろう。

(中略)

 ベクトルそのものには反変とか共変とかいう区別はなくて、ベクトルの成分表示の仕方に二通りあると言った方が良いのである。だから「反変ベクトル」「共変ベクトル」という言葉を使うより、本当は「ベクトルの反変成分」「ベクトルの共変成分」という呼び方をした方が誤解がなくていいかも知れない。

(広江克彦著「趣味で相対論」87ページより)

もしかして、やっと共変ベクトルが分かったような気がする(汗;;

2017年2月27日 (月)

【メモ】 一番簡単な E=mc2の導き方。ただし「テイラー展開」を使う。広江克彦先生の「趣味で相対論」より(2016年6月29日)/【2017−2−27 追加】 佐藤勝彦先生の相対性理論(岩波基礎物理シリーズ 9)より/このエントリーはこんがらがってしまった(汗;;

以下、広江克彦先生の「趣味で相対論」35〜39ページより無断で抜粋させて頂きます。誠に申し訳ありませんが宜しくお願い致します。

1.10 E=mc2を導く(抄)

(4元運動量)

 前節では4元速度を定義したが、4元速度は素人には使い道がないので確かにつまらない。ではこれを4元運動量に拡張してやったらどうだろう。力学で、速度と質量を掛け合わせることで運動量を定義したように、4元速度と質量を掛け合わせることで「4元運動量」を作るのだ。これには意外な結果が待っている。
 しかし運動量を作るために4元速度と質量を掛け合わせただけでは不都合がある。それは単位の次元の問題である。普通の速度は距離を時間で割ったものだが、4元速度は距離を「固有時」で割ったものである。固有時は時間に光速度 c を掛けて長さの単位に合わせたものであった。つまり、4元速度は長さを長さで割っていることになるので無次元量になってしまっている。時間を長さの単位で表すために掛けた光速度 c の分だけ割りすぎているのである。そこで4元運動量を定義する際に、その分を掛けて単位をちゃんと普通の運動量の単位に合わせておくことにしよう。
 本来こういうことは4元速度の定義のところで光速度 c を掛けて調整しておくべきなのだが、今回は話の流れ上、私が学生時代に愛読していた本に従った。それで、そのツケが4元運動量の定義の部分に回ってきただけの話である。教科書によってはちゃんと4元速度に光速度 c を掛けて定義してあるものもある。
 とにかく、次のように4元運動量 (p0, p1, p2, p3) を定義しよう。

(p0, p1, p2, p3)=(mcu0, mcu1, mcu2, mcu3)

これは4元速度に mc を掛けただけなので当然次のような組み合わせは不変量になる。

(mc)2=(p0)2-(p1)2-(p2)2-(p3)2

 前に出てきた 4 元速度についての式の両辺に (mc)2 を掛けてやっただけだ。この式はしっかり意味を考えて見なくてはならない。p のすぐ右上についている数字はべき乗を表すのではなく、ただの添え字である。そして、括弧の外についている「2」は、2 乗を表している。

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

おそらく、33ページの

2=dw2-dx2-dy2-dz2

1=(dw/dτ)2-(dx/dτ)2-(dy/dτ)2-(dz/dτ)2

の両辺に (mc)2 を掛けた

(ただし、w=ct)

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

(中略)

(mc)2=(p0)2-p2

 残る問題は「では p0 の正体は何でしょう?」という点だけである。それを探ってやるために、この式を p0 について解くことをしてやれば、

p0=√{(mc)2+p2}
=mc√{1+p2/(mc)2}

さらにこのルートの中身は p2 が (mc)2 に比べて非常に小さい時には次のような近似で展開できる。こういう計算に慣れていない人は微分の教科書で「テイラー展開」なんかの項目を参考にして欲しい。

p0=mc(1+p2/2(mc)2+...)
=mc+p2/2mc+...

ここまで来たら、そろそろ気付いて欲しいものだ。この式の右辺の第2項は力学に出てくる運動エネルギーの式

E=(1/2)mv2=p2/2m

に似ている、と。ただ分母に c が余分なだけである。すると、この式全体に c を掛けてやれば、これはエネルギーについての式になるのではないか。

E=p0c=mc2+p2/2m...

 ここで p0 の正体は「物体の持つ全エネルギー E を c で割ったもの」だったのだ、と解釈することにしよう。もし、p=0 であるならば、物体が動いていない時のエネルギーを表しており、それが E=mc2 となるわけだ。有名な公式はこうして導かれるのである。しかし当時、この式を根拠にして「物体は静止しているだけでエネルギーを持つ」と言い切ってしまうのはなかなか勇気の要る事だったろうと思う。

 すぐ上の式は運動量が 0 に近いときの近似式に過ぎないので、どんな場合にでも成り立つ正確な表現にしたければ、次のように書くべきだろう。

E2=(mc2)2+(pc)2

 この式は非常に面白い。と言うのも、もし、m=0 だとすると E=pc となるが、これは電磁気学で導かれるところの、電磁波の持つ運動量とエネルギーの関係式と同じになっているのである。このことから光の質量は0であると考えられるようになった。光のエネルギーと物質のエネルギーが一つの式でまとまめて表わされるようになったというわけだ!

 いや、しかし質量とは何だったろうか。それはニュートン力学で定義された概念であって、加速も減速もしないような光に対してはそもそも当てはめることのできない考えだったはずなのだ。だから光の質量などと言うのは、どうにもおかしなお話である。

 ところが20世紀初めには光を「質量0の粒子」であると受け入れることで、大変都合良く素粒子を分類できたのである。質量が小さい粒子ほど、ほんの小さなエネルギーだけで光速度近くまで加速してしまい、めったに止まることがない。光の粒子というのはそのような状態の極限的存在であると考えることにしても話が合うわけだ。要するに、光の質量は「便宜上」0なのである。

(2016年6月29日)

(下に続く)

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2017年2月19日 (日)

【memo】 ローレンツ変換の行列表現と「基本テンソル」/いまだに、テンソルという物が、分からない/そろそろ分かってもいいのになぁ(泣;;(その2)/添字の使い方が、分からん

(http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/01/post-aed9.html の続き

==

これは前にも書いたが・・・私は電子ピアノを持っている。が、私はそれを弾けない。しかし「ある日突然、ある曲の一部が弾けるようになった」という経験も皆無ではない・・・ので、以下にメモって置く。そうすれば「ある日突然、分かる」ということもあるかも知れない。


「アインシュタインの規約(Einstein summation convention)」には、ほんの少し慣れてきたが、下記の演算はまだ分からない(汗;;



Tensor_4

なんで、これを、

Tensor_2

と、書くのか・・・

(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店 114ページより)


Tensor_6

(下に続く)

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2017年2月18日 (土)

【メモ】 ダニエル・フライシュ著「物理のためのベクトルとテンソル」より「テンソルの応用」「慣性テンソル」をコピーする/このエントリーは完結しない/そして不完全

このエントリーは完結しない。そして不完全。
だがメモとして。
とにかく、ブログに掲載し、それを眺めていると、分からないことが分かるかも知れない。
手段として。


ダニエル・フライシュ(Daniel Fleisch)著「物理のためのベクトルとテンソル」181ページの「6 テンソルの応用」「6.1 慣性テンソル」より。

慣性モーメント = (回転運動の場合の)質量のアナロジー

位置(x) = 角度(θ)
速度(v) = 角速度(ω
加速度(a) = 角加速度(α
力(F) = トルク(τ
質量(m) = 慣性モーメント(I)
運動量(p) = 角運動量(L


ニュートンの運動方程式
F = ma ---> τ = Iα


並進運動の運動量  p = mv
角運動量      Lz = Iω


v = ωr (角速度×半径)なので
角運動量 Lz = mvr は
Lz = mvr = mr2ω
mr2 をこの1粒子の慣性モーメント(I)として
Lz = Iω
ただし、この角運動量の2つの式に含まれる v と ω は速度ベクトルではなくスカラー


速度 v と角速度 ω と 位置ベクトル r の間にはベクトル積で表される

v = ω×r

という一般的な関係があります。この×印はベクトル積

また、角運動量 L を運動量 p(あるいは速度 v と質量 m)に関係づける式は

L = r×p = r×(mv) = mr×v・・・(6.2)

今日はここまで。

(下に続く)

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2017年2月11日 (土)

【nemo】 私もそろそろ反変・共変というものが分かっても良いはずだが…(その2)

http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/02/post.html の続き

==

ダニエル・フライシュ(Daniel Fleisch)著「物理のためのベクトルとテンソル」を、もう一度よく読んでみたら、そもそも「4.6 共変成分と反変成分の見つけ方」すなわち、共変・反変の説明の導入部分(一番、分かりやすく説明して欲しい部分)からして分かりにくいと思えるのだが・・・(131ページから無断で引用)。

<---- 引用 ココから ---->

反変成分 A1, A2 の値はベクトル方程式

A = A1e1 + A2e2・・・(4.26)

から求めることができます。

Fig_0416_7

(4.26) を A のベクトル成分 (Ax, Ay) に対して書き下すと

Fig_0416_8

Ax = A1e1, x + A2e2, x

Ay = A1e1, y + A2e2, y

となります。

<---- 引用 ココまで ---->

↑ 『ベクトル成分 (Ax, Ay) に対して書き下すと・・・』と、簡単に書いてあるが、それをもっと丁寧に説明して欲しかった(汗;;


【2016−2−12 追加】

ちなみに、上記の連立方程式は簡単だが、ちゃんと理解するために:

7 = A1 + 4A2
2 = 3A1

A1 = 2/3 = 0.66
A2 = 19/12 = 1.58

(下に続く)

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2017年2月10日 (金)

【いつまで経っても暗記できないのでメモします】 ローレンツ変換を行列の形に書くと

行列 A をαμνの上の添字μを行の番号とし、下の添字νを列の番号として書くと
Lorentz_transformation_01
となる。
 第5章で導入したローレンツ変換 (5.17) を行列の形に書くと

Lorentz_transformation_02
を使って
Lorentz_transformation_03
となる。

中野董夫著 相対性理論 (物理入門コース (9)) 114ページより


2017年2月 7日 (火)

【nemo】 私もそろそろ反変・共変というものが分かっても良いはずだが…(汗;;

http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/02/post-6c98.html に続く

==

Fig_03_2
図4.13 平行な正射影の成分と基底ベクトル

A = Axe1 + Aye2

Fig_07
図4.14 垂直な正射影の成分と双対基底ベクトル

A = Axe1 + Aye2

ダニエル・フライシュ(Daniel Fleisch)著「物理のためのベクトルとテンソル」127〜129ページから無断で引用。


【2017−2−7 追加】

ダニエル・フライシュ(Daniel Fleisch)著「物理のためのベクトルとテンソル」132ページの図4.16の基底ベクトルe1の成分(1, 3)を(2, 3)にしたら(長くしたら)、A1は変わらない(A1=0.66)。A2が小さくなったみたい(A2=1.42)。←だから「反変」というのだろうか?

2017年1月24日 (火)

【memo】 ローレンツ変換の行列表現と「基本テンソル」/いまだに、テンソルという物が、分からない/そろそろ分かってもいいのになぁ(泣;;(その1)

http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/02/memo-e35e.html に続く
==

ローレンツ変換の行列表現

 ローレンツ変換(6.3)は行列

Formula173

と縦ベクトル
Formula174

を使って
Formula181_3・・・・・・(6.12)

と書ける。このような書き方をすると、基本テンソルとよばれる行列
Formula175

と転置ベクトル
tx=[x0 x1],tx'=[x0' x1']

を使って、世界距離の2乗(6.5)は
s2=txHx=tx'Hx'・・・・・・(6.14)

と書ける。転置ベクトルに対するローレンツ変換は、ローレンツ変換の行列Aの転置行列
Formula176

を用いて
tx'=t(Ax)=txtA・・・・・・(6.15)

と書ける。ここで恒等式t(Ax)=txtAを使った。世界距離の2乗(6.14)に(6.12)と(6.15)を代入すると
s2=txHx=txtAHAx

となる。この式から行列の間の関係式
tAHA=H・・・・・・(6.16)

を得る。この関係式は、添字が表に出てこないので、ローレンツ変換を2次元から4次元に拡張するのに便利な形をしている。

 行列Hは2乗すると
H2=I

となるので(Iは単位行列)、Hの逆行列をH-1と書くと
H-1=H

となる。式(6.16)の両辺に左からHをかけると
HtAHA=I

を得る。このことから、行列Aの逆行列をA-1=Bと書くと
A-1=B=HtAH・・・・・・(6.17)

となることがわかる。この式はs2の不変性から導かれたので、ローレンツ変換の1つの特徴である。またAの逆行列(6.17)を成分でかくと
Formula177・・・・・・(6.18)

となる。実際BとAを掛けて(6.8)
Formula171

を用いれば
Formula178

を得る。すなわち、BはAの逆行列である。

 (6.12)
Formula181_4

の両辺に行列Bを掛ければわかるように、(6.12)の逆変換は
x=Bx'・・・・・・(6.20)

あるいは
Formula179・・・・・・(6.20')

あるいは(6.18)により
Formula180・・・・・・(6.20")

となる。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店 103ページより)

--

【2017−1−25 追加】

ところで、ココで使われている大文字の A, B, H は、アルファ、ベータ、イータだろうか。

2016年10月 8日 (土)

【メモ】 「反変」「共変」「テンソル」がまだわからない/ミンコフスキーの世界では、反変ベクトルと共変ベクトルの違いは、その第0成分の符号の違いに過ぎない

私は電子ピアノを持っている。が、私はそれを弾けない。しかし「ある日突然、ある曲の一部が弾けるようになった」という経験も皆無ではない・・・ので、以下にメモって置く。そうすれば「ある日突然、分かる」ということもあるかも知れない。


Vector_000_2

【出典】


2016年8月16日 (火)

相対性理論応用 標高差の精密測量に成功 世界初(2016年8月16日)

相対性理論応用 標高差の精密測量に成功 世界初

Altitude
(C) NHK

アインシュタインの一般相対性理論を応用し、時間が流れる速さの極めてわずかな違いから、2つの場所の標高の差を精密に測ることに、東京大学などの研究チームが世界で初めて成功しました。将来、標高の変化をリアルタイムで把握できれば、火山災害などの予測につながるとしています。(2016年8月16日 4時41分 NHK オンラインより)

(下に続く)

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