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2017年2月27日 (月)

【メモ】 一番簡単な E=mc2の導き方。ただし「テイラー展開」を使う。広江克彦先生の「趣味で相対論」より(2016年6月29日)/【2017−2−27 追加】 佐藤勝彦先生の相対性理論(岩波基礎物理シリーズ 9)より/このエントリーはこんがらがってしまった(汗;;

以下、広江克彦先生の「趣味で相対論」35〜39ページより無断で抜粋させて頂きます。誠に申し訳ありませんが宜しくお願い致します。

1.10 E=mc2を導く(抄)

(4元運動量)

 前節では4元速度を定義したが、4元速度は素人には使い道がないので確かにつまらない。ではこれを4元運動量に拡張してやったらどうだろう。力学で、速度と質量を掛け合わせることで運動量を定義したように、4元速度と質量を掛け合わせることで「4元運動量」を作るのだ。これには意外な結果が待っている。
 しかし運動量を作るために4元速度と質量を掛け合わせただけでは不都合がある。それは単位の次元の問題である。普通の速度は距離を時間で割ったものだが、4元速度は距離を「固有時」で割ったものである。固有時は時間に光速度 c を掛けて長さの単位に合わせたものであった。つまり、4元速度は長さを長さで割っていることになるので無次元量になってしまっている。時間を長さの単位で表すために掛けた光速度 c の分だけ割りすぎているのである。そこで4元運動量を定義する際に、その分を掛けて単位をちゃんと普通の運動量の単位に合わせておくことにしよう。
 本来こういうことは4元速度の定義のところで光速度 c を掛けて調整しておくべきなのだが、今回は話の流れ上、私が学生時代に愛読していた本に従った。それで、そのツケが4元運動量の定義の部分に回ってきただけの話である。教科書によってはちゃんと4元速度に光速度 c を掛けて定義してあるものもある。
 とにかく、次のように4元運動量 (p0, p1, p2, p3) を定義しよう。

(p0, p1, p2, p3)=(mcu0, mcu1, mcu2, mcu3)

これは4元速度に mc を掛けただけなので当然次のような組み合わせは不変量になる。

(mc)2=(p0)2-(p1)2-(p2)2-(p3)2

 前に出てきた 4 元速度についての式の両辺に (mc)2 を掛けてやっただけだ。この式はしっかり意味を考えて見なくてはならない。p のすぐ右上についている数字はべき乗を表すのではなく、ただの添え字である。そして、括弧の外についている「2」は、2 乗を表している。

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

おそらく、33ページの

2=dw2-dx2-dy2-dz2

1=(dw/dτ)2-(dx/dτ)2-(dy/dτ)2-(dz/dτ)2

の両辺に (mc)2 を掛けた

(ただし、w=ct)

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

(中略)

(mc)2=(p0)2-p2

 残る問題は「では p0 の正体は何でしょう?」という点だけである。それを探ってやるために、この式を p0 について解くことをしてやれば、

p0=√{(mc)2+p2}
=mc√{1+p2/(mc)2}

さらにこのルートの中身は p2 が (mc)2 に比べて非常に小さい時には次のような近似で展開できる。こういう計算に慣れていない人は微分の教科書で「テイラー展開」なんかの項目を参考にして欲しい。

p0=mc(1+p2/2(mc)2+...)
=mc+p2/2mc+...

ここまで来たら、そろそろ気付いて欲しいものだ。この式の右辺の第2項は力学に出てくる運動エネルギーの式

E=(1/2)mv2=p2/2m

に似ている、と。ただ分母に c が余分なだけである。すると、この式全体に c を掛けてやれば、これはエネルギーについての式になるのではないか。

E=p0c=mc2+p2/2m...

 ここで p0 の正体は「物体の持つ全エネルギー E を c で割ったもの」だったのだ、と解釈することにしよう。もし、p=0 であるならば、物体が動いていない時のエネルギーを表しており、それが E=mc2 となるわけだ。有名な公式はこうして導かれるのである。しかし当時、この式を根拠にして「物体は静止しているだけでエネルギーを持つ」と言い切ってしまうのはなかなか勇気の要る事だったろうと思う。

 すぐ上の式は運動量が 0 に近いときの近似式に過ぎないので、どんな場合にでも成り立つ正確な表現にしたければ、次のように書くべきだろう。

E2=(mc2)2+(pc)2

 この式は非常に面白い。と言うのも、もし、m=0 だとすると E=pc となるが、これは電磁気学で導かれるところの、電磁波の持つ運動量とエネルギーの関係式と同じになっているのである。このことから光の質量は0であると考えられるようになった。光のエネルギーと物質のエネルギーが一つの式でまとまめて表わされるようになったというわけだ!

 いや、しかし質量とは何だったろうか。それはニュートン力学で定義された概念であって、加速も減速もしないような光に対してはそもそも当てはめることのできない考えだったはずなのだ。だから光の質量などと言うのは、どうにもおかしなお話である。

 ところが20世紀初めには光を「質量0の粒子」であると受け入れることで、大変都合良く素粒子を分類できたのである。質量が小さい粒子ほど、ほんの小さなエネルギーだけで光速度近くまで加速してしまい、めったに止まることがない。光の粒子というのはそのような状態の極限的存在であると考えることにしても話が合うわけだ。要するに、光の質量は「便宜上」0なのである。

(2016年6月29日)

(下に続く)

(上の続き)

以下、『EMANの物理学』 テイラー展開 具体例 5 より抜粋

Massenergy_equivalence

(2017年12月13日)



(上の続き)

【2016−7−1 追加】

固有時間というのは、二通りあるのだろうか(?)

Formula97

微小距離の時には

Formula98

すなわち

Formula99_2

とあらわされる。ここで

Formula100

とおいた。

(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店 74ページより)


【2017−2−18 追加】

なんで、固有時間が(あたかも)2つあるのか分かった。

ミンコフスキー時空の座標において、

縦軸を ct とすると横軸は x (ct, x の次元は長さ)その場合、

(c×固有時間dτ)の二乗 = (dcτ)2 = (dct)2-(dx2+dy2+dz2)

縦軸を t とすると横軸は x/c (t, x/c の次元は時間)その場合、

(固有時間dτ)の二乗 = (dτ)2 = (dt)2-(1/c2)(dx2+dy2+dz2)

まあ、こういう感じになるのかな(?)


【2017−2−27 追加】

以下、佐藤勝彦先生の相対性理論(岩波基礎物理シリーズ 9)41ページを無断でコピーさせて頂きます。誠に申し訳ありませんが宜しくお願い致します。

2−3 物理法則の共変形式2 --- 質点の運動方程式

(前略)

ニュートン力学では、通常、質点の運動はその空間座標 x1, x2, x3 をその座標系の時間 x0 の関数として表すことで次式のように記述される。

xμ= fμ(x0)

ここで μ= 1, 2, 3である。以後、ギリシャ文字の添字は、特別にことわらない限り、空間成分を表すために同様に1から3までの数とする。この質点の速度は xμを微分して

vμ= (dxμ)/(dt) = (cdxμ)/(dx0)

である。しかし、これは時間 t もしくは x0 を特別扱いしており、共変な形式で記述するためには、なんらかの媒介変数τを使って

xi = xi (τ)

と記述する必要がある。媒介変数としてもっとも適当なものは固有時間である。

(中略)

x 系で微小時間 dx0 の間に質点が空間座標で dx1, dx2, dx3 変化したとしよう。この前後の世界間隔の2乗 ds2

ds2 = - (dx0)2 + dxμdxμ = - (cdt)2 + dxμdxμ

である。質点に固定した座標系を x' 系とすると、この世界間隔は

ds'2 = - (dx'0)2 = - (cdτ)2

である。世界間隔不変より両者は等しく、これにより固有時間τと座標時間 t との関係は(1.53)、(1.54)ですでに示したように

dτ= √{1 - (v(x)/c)2} dt, τ=∫0t√{1 - (v(x)/c)2} dt

となる。ここで、v(x) は x 系での空間座標が x である場所での速度の値で、

v(x) = √{(dxμ/dt)(dxμ/dt)} = c√{(dxμ/dx0)(dxμ/dx0)}・・・(2.58)

である。以後、v(x) の引き数 x は必要な場合を除いて省略し、簡単に v と書くことにする。

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

その場合、

dτ= √{1 - (v(x)/c)2} dt, τ=∫0t√{1 - (v(x)/c)2} dt

は、

dτ= √{1 - (v/c)2} dt, τ=∫0t√{1 - (v/c)2} dt

になるということなのかな?

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

(以下抜粋)

4元速度:

ui = dxi/dτ

4元速度の2乗長さ:

uiui = ηijuiuj = ηij(dxi/dτ)(dxj/dτ) = (ds/dτ)2 = - c2・・・(2.60) (←おそらく、ds2 を、固有時間 - ds2/c2 で割るから。当ブログ開設者より)

のように計算され、その値は常に - c2 である。

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

ただし、

η00 = -1, η11 = η22 = η33 = 1, i ≠ j のとき ηij = 0

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

4元運動量:

pi = mui

と定義される。m は質点の質量である。したがって、4元運動量の2乗長さも (2.60) から

pipi = m2uiuj = - m2c2・・・(2.62) (←おそらく、m2×ds2 を固有時間 -ds2/c2 で割るから。当ブログ開設者より)

である。したがって、4元速度も4元運動量もそれぞれ4成分からなるが、じつはその長さがこのように変化しないという条件のため、独立な成分はそれぞれ3つである。例えば、空間成分 p1, p2, p3 が求められているなら、p0 は上の式で計算し求めることができる。4元運動量の意味を考えるため、これらの量を x 系での通常の速度 vμ や速さ v で書き換えてみよう。


Relativity_katsuhiko_sato_2_63

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

↑あっ、これ間違えてました(汗;;

正しくは、

Relativity_katsuhiko_sato_2_63_2017

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

したがって、pμ

Relativity_katsuhiko_sato_2_65

を定義すると、pμ = m'vμ と書くことができるから、光速に近づくと見かけ上、慣性質量が m' のように増加すると解釈することもできる。本来の慣性質量 m をこれと区別するために静止質量ともよぶ。
 p0 の意味について考えよう。非相対論的極限、β= v/c ≪ 1 で、p0 に光の速さ c をかけた量 cp0 は、式(2.63)において v/c を小さな量とみなして級数展開すると

Relativity_katsuhiko_sato_2_66

となる。つまり、運動エネルギーに定数である mc2 を加算したものとなる。このことは、cp0 は相対論的な粒子エネルギーと解釈できることを示している。ここで cp0 = E とエネルギー E を定義する。(2.6)式、pipi = - m2c2 を E2 とおいて書き直すと(←間違えてました。正しくは「(2.6)式、pipi = - m2c2 を E2 について書き直すと」。当ブログ開設者より)

Relativity_katsuhiko_sato_2_67

となる【注1】。さらに pμの式(2.64)や(2.58)を代入すれば

Relativity_katsuhiko_sato_2_68_2・・・(2.68)

と書き換えることができる【注2】。(2.68)式は、相対論ではエネルギー E は速度がゼロでも静止質量に光速の2乗をかけたもの、mc2 であることを示している。これを静止質量エネルギーという。

【以下、当ブログの開設者より】

【注1】

Relativity_katsuhiko_sato_note_01

ここまでは合っていると思うのだが、
以下が怪しい。

【注2】

Relativity_katsuhiko_sato_note_02_2

↑赤文字の式の意味するところが分からない。


【2017−3−4 追加】

【もう一度、固有時間とはなにかを整理して確認する】

<--- すでに固有時間を理解していらっしゃる読者様はココを無視して構いません ココから --->

5−2 世界距離

 空間座標の原点 x=y=z=0 を t=0 に出発した光の先端が t 秒後に到達する点の座標の方程式、すなわち光の球面波の式 (5.12) は、すなわち

x2+y2+z2-c2t2 = 0

である。ローレンツ変換はこの式が任意の慣性系において成り立つことを要請して求められた。この式の左辺は、前節のはじめに導入した時空座標という概念で考えると、原点の時空座標(0, 0, 0, 0)と光の先端の世界点の時空座標(x, y, z, t)の差の関数である。一般に、二つの世界点PとQの時空座標(x1, y1, z1, t1)と(x2, y2, z2, t2)の差の関数として

s122 = (x2-x1)2+(y2-y2)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2

という量を考える。この式は、三次元空間の二点間の距離の二乗をピタゴラスの定理を使ってあらわした

r122 = (x2-x1)2+(y2-y2)2+(z2-z1)2

を、時間差の二乗を含めて拡張した式になっている。

(中略)

 時空座標(xi, yi, zi, ti), (i=1, 2)にローレンツ変換(5.17)を行ったとき、世界距離の二乗は慣性系によらない不変な形である。すなわち

s12'2 = (x2'-x1')2+(y2'-y1')2+(z2'-z1')2-c2(t2'-t1')2 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2 = s122

となることがわかる。

(中略)

 世界距離は三次元空間の距離の定義とは異なり、上述のように、光で結ばれる二点の間の世界距離は二点が空間的に離れていても0である。また世界距離の二乗は正の値をとることも負の値をとることもある。後者の場合、世界距離 s12 は純虚数になる。

(中略)

Fig31

図5-5 世界距離の分類

 慣性系S'の空間の一点に静止している時計を考えると空間座標は時間が経過しても変化しないから x2'=x1', y2'=y1', z2'=z1' となる。

s122 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2-c2(t2-t1)2 = -c2(t2'-t1')2 < 0・・・(5.24)

となる。このときs12は純虚数である。

(中略)

すなわち

Formula96

とする。光速以下の運動はつねに時間的である。

微小な世界距離の二乗は、微分を使って

ds2 = dx2+dy2+dz2-c2dt2

とあらわされる。

固有時間

 慣性系S'に静止している時計における二つの世界点 t1' と t2' の間の世界距離は、(5.24) により

s122 = s12'2 = -c2(t2'-t1')2

となる。この式の左辺はローレンツ変換のもとで不変な量であるから、右辺の t2'-t1' もローレンツ変換時のもとで不変な量である。このように時計に対して相対的に静止している慣性系 S' で測定した経過時間 t2'-t1' は、時計に対して固有な時間であるので、固有時間(proper time)という。

(中略)

 固有時間を変数τ(タウ)であらわすと

τ122 = -s122/c2・・・(5.27)

とかける。特に光に対してはs12=0であるから、光の固有時間はτ12=0である。いいかえれば、光と共に進む座標系では時間は経過しない。
 光速以下の運動、すなわち世界距離が時間的な場合は、(5.27) と (5.24) を比べてみるとわかるように、τ122 は正となる。

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

(5.24) の s122 は負の数であり、固有時間はそれを、- c2 で割るから、正の数になる。

τ122 = - s122 / c2

s122 < 0 なので

τ12 > 0

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

したがって、τ12 は実数となるが、そのときのτ12 の正負を t2-t1 の正負で定めることにする。すなわち


Formula97

微小距離の時には

Formula98

すなわち

Formula99_2

とあらわされる。ここで

Formula100

とおいた。

(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店 70〜74ページより抜粋)




Formula96

↑これと

Formula97

↑これの定義を、私は、よく分かっていないので、私は、こんがらがるのかも知れない。

τ122 = -s122/c2・・・(5.27)

↑さらに、固有時間の定義。←こんがらがる。

<--- すでに固有時間を理解していらっしゃる読者様はココを無視して構いません ココまで --->

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