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2017年1月24日 (火)

【memo】 ローレンツ変換の行列表現と「基本テンソル」/いまだに、テンソルという物が、分からない/そろそろ分かってもいいのになぁ(泣;;(その1)

http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/02/memo-e35e.html に続く
==

ローレンツ変換の行列表現

 ローレンツ変換(6.3)は行列

Formula173

と縦ベクトル
Formula174

を使って
Formula181_3・・・・・・(6.12)

と書ける。このような書き方をすると、基本テンソルとよばれる行列
Formula175

と転置ベクトル
tx=[x0 x1],tx'=[x0' x1']

を使って、世界距離の2乗(6.5)は
s2=txHx=tx'Hx'・・・・・・(6.14)

と書ける。転置ベクトルに対するローレンツ変換は、ローレンツ変換の行列Aの転置行列
Formula176

を用いて
tx'=t(Ax)=txtA・・・・・・(6.15)

と書ける。ここで恒等式t(Ax)=txtAを使った。世界距離の2乗(6.14)に(6.12)と(6.15)を代入すると
s2=txHx=txtAHAx

となる。この式から行列の間の関係式
tAHA=H・・・・・・(6.16)

を得る。この関係式は、添字が表に出てこないので、ローレンツ変換を2次元から4次元に拡張するのに便利な形をしている。

 行列Hは2乗すると
H2=I

となるので(Iは単位行列)、Hの逆行列をH-1と書くと
H-1=H

となる。式(6.16)の両辺に左からHをかけると
HtAHA=I

を得る。このことから、行列Aの逆行列をA-1=Bと書くと
A-1=B=HtAH・・・・・・(6.17)

となることがわかる。この式はs2の不変性から導かれたので、ローレンツ変換の1つの特徴である。またAの逆行列(6.17)を成分でかくと
Formula177・・・・・・(6.18)

となる。実際BとAを掛けて(6.8)
Formula171

を用いれば
Formula178

を得る。すなわち、BはAの逆行列である。

 (6.12)
Formula181_4

の両辺に行列Bを掛ければわかるように、(6.12)の逆変換は
x=Bx'・・・・・・(6.20)

あるいは
Formula179・・・・・・(6.20')

あるいは(6.18)により
Formula180・・・・・・(6.20")

となる。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店 103ページより)

--

【2017−1−25 追加】

ところで、ココで使われている大文字の A, B, H は、アルファ、ベータ、イータだろうか。

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