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2015年11月10日 (火)

【メモ】 広江克彦著「趣味で相対論 単行本 - 2008/6/16」の「1.5 ローレンツ変換の求め方」における連立方程式(21ページ)を解く

Relativity

「趣味で相対論」広江克彦 理工図書

--

まず、当ブログの開設者である私が「YAHOO! 知恵袋」に上記標題について質問したその質問文を以下に転記します(下記URL)。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11152167701

<--- ココから --->

wolfgangsebastianbeethovenさん

2015/11/3 22:42:45

私は、
趣味で相対論 単行本 - 2008/6/16
広江 克彦 (著)
の読者であり、アマゾンJPに「名著です。EMAN さんありがとう。この本は絶対に絶版されてはならない」というレビューを書いたのは私(KM)です。すなわち、私は文系出身なので数学は苦手! しかし、同著の21ページ「ローレンツ変換の求め方」における連立方程式(画像参照)を解くことは出来ました(←ただし、4時間かかった)。
さて、その後、私の家が火事になり(2009年12月)、その連立方程式を解いた時にメモしたノートを焼失しました。そして、現在(2015年11月3日)、再度、その連立方程式を解こうとしたところ、3日かけても解けません(悔しくてたまらない。←なぜなら火事になる前は解けたのに、いまは解けないからです!)。というわけで、どなたか解き方教えて下さい! 宜しくお願いします!

【補足】
なお、この連立方程式の解は、分かっています。それは、同著のもとになったサイト(下記URL)にあります(私が分からないのは解き方です)。また、同式の意味もまた同サイト(下記URL)にあります。

http://eman-physics.net/relativity/lorentz.html

Eman_20170921_1

Eman_20170921_2

<--- ココまで --->

--

さて、

ところが、私が、上記「YAHOO! 知恵袋」に質問を投稿したところ、その2日後に私は自力で(知恵袋を見ずに)この連立方程式の解き方が分かりました。エレガントな解き方ではないかもしれませんが・・・

【上記、連立方程式の私の解き方】

A を求める

 

A2-c2B2=1       (1)

c2D2-v2A2=c2     (2)

2vA2+2c2BD=0   (3)

 

(1)より

A2-c2B2=1

c2B2=A2-1       (4)

 

(2)より

c2D2-v2A2=c2

c2D2=v2A2+c2       (5)

 

(4)x(5)

c4B2D2= v2A4+c2A2-v2A2-c2

B2D2=(v2A4+c2A2-v2A2-c2)/c4   (6)

 

(3)より

2vA2+2c2BD=0

vA2+c2BD=0

c2BD=-vA2

両辺を2乗する

c4B2D2=v2A4

B2D2=v2A4/c4                (7)

 

(6)=(7)より

(v2A4+c2A2-v2A2-c2)/c4=v2A4/c4

v2A4+c2A2-v2A2-c2=v2A4

c2A2-v2A2-c2=0

A2(c2-v2)-c2=0

A2(c2-v2)=c2

A2=c2/(c2-v2)

A={c2/(c2-v2)}  ←符号はプラスを取る【注1】

=1/{(c2-v2)/c2}

=1/{(c2-v2)/c2}

=1/(1-v2/c2)

 

Dを求める

 

A2=c2/(c2-v2)(2)に代入する

c2D2-v2A2=c2

c2D2-(v2c2)/(c2-v2) =c2

両辺をc2で割る

D2-(v2)/(c2-v2)=1

D2=1+{(v2)/(c2-v2)}

=(c2-v2)/(c2-v2)+(v2)/(c2-v2)

=(c2-v2+v2)/(c2-v2)

=c2/(c2-v2)

D={c2/(c2-v2)}  ←符号はプラスを取る【注1】

=1/{(c2-v2)/c2}

=1/{(c2-v2)/c2}

=1/(1-v2/c2)

 

Bを求める

 

A2=c2/(c2-v2)(1)に代入する

A2-c2B2=1

c2/(c2-v2)-c2B2=1

c2B2=c2/(c2-v2) -1

両辺をc2で割る

B2=1/(c2-v2)-1/c2

通分する

={c2-(c2-v2)}/{(c2-v2)c2}

=(c2-c2+v2)/{(c2-v2)c2}

=v2/{(c2-v2)c2}

分母、分子をc4で割る

=(v2/c4)/{(c2-v2)/c2}

B= - (v/c2)/{(c2-v2)/c2}  ←符号はマイナスを取る【注2】

= - (v/c2)/(1-v2/c2)

==========

【注1】で符号がプラスを取る理由は、下記の画像を見ると何となく分かる。しかし、【注2】で符号がマイナスを取る理由は、下記の画像を見ても分からない。また、EMAN さんの説明を読んでも、その他、私自身考察したけど分からなかった。

Fig1

==

【追伸】上の計算に間違いがあったら、お知らせ下さい。

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コメント

はじめまして。
以前から読ませていただいております。

僕もまだ相対論を勉強中の身で恐縮ですが、
符号については以下のようなことではないかと存じます。

まずは、A と D の符号について。
v → 0 の時に K 系と K' 系は全く同一になりますので、
この時、x' = x、かつ t' = t とならなければなりません。
その要請から、プラスが選ばれます。

B の符号については、(3) 式において、
D でプラスを選んでいるため、
B はマイナスを選ばないと式が成立しません。

ディラックの一般相対論は名著と聞いているので、
僕もいつか読んでみたいと思っています。

dyne様
初めまして。
当ブログの開設者KMです。コメント有難うございます。

本日、夜(もうすぐ)、外泊(2泊)しますので、とりあえず、このコメントを書きます。

まず、物理学サイト「ゆるゆる物理☆ときどき数学」←これレヴェル高過ぎ!

そして、dyneさんは、私と同じく、物理とクラシック音楽を追求していらっしゃる(ただし、私の場合は「追求」ではなくて、ただの言いたい放題ですが・・)。
←←←私の場合のクラシック音楽トピックへの姿勢は、しばしば、「クラシック音楽ひねくれレビュー」や、クラシック音楽以外のトピック(私の家が火事になったことなど・・・)に、脱線します(だから、このブログは節操のないという名なのです)。

さて、昔、変な絵を描きました(下記URL)
http://homepage2.nifty.com/einstein/files/lorentz_rev_5.jpg
私は、ローレンツ変換は座標変換なので、上記の図の「上二つ」だけでなく、「下二つ」も当てはまると思ったんですがどうなんでしょうか。

私の違法な著作権侵害サイト「アインシュタインの科学と生涯」に「図5-2 慣性系S'からSをみる」というのがありますが、中野薫夫先生の場合、「図5-2 慣性系S'からSをみる」から、ローレンツ変換を導いているようですね(下記URL)

>>ところで、S'からSをみると、S'の座標系のx'軸の負の方向へ速度VでSが移動している(図5-2)。
http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity/contents/relativity2155.html

--

http://homepage2.nifty.com/einstein/files/lorentz_rev_5.jpg
は、
たとえば、ワーグナーのラインの黄金で、ラインの川底に、たとえば、下手(左)から上手(右)に川(水)が流れている様な状態を「ローレンツ変換」に当てはめたんですが・・・つまり、その「川(水)」が、座標 K'系。
ワーグナーのラインの黄金のト書きに「ライン川の底に、先が尖った岩がそびえ立つ」←その岩が座標 K系。

以下引用:

「緑色の薄明かり。上の方はより明るく下の方はより暗い。高いところは、うねる水に満たされ、それは絶え間なく右から左に流れている。流れは深みに近づくにつれ、より細かな湿った霧の中に消え入るので、河底の人の背丈の高さまでの空間は、水の抵抗が全くないように思える。その水はあたかも雲の流れが夜の底を渡るようである。いたるところ切り立った岩礁が、深みからそびえ立ち、舞台空間に境界を作る。すなわち河底全体は、粗くギザギザに割れているので、完全に平らな所はなく、四方八方はかなり濃い闇の中、渓谷が深遠を増すように思われる。(ラインの黄金第1場のト書きより)」←ただし、このライン川の流れは、右から左に流れている(下手(左)から上手(右)の逆です)

==

突然、トピックが変わりますが、
バッハの和声は後のハイドン、モーツァルト、ベートーヴェンより自由であり、たとえば、ゴルトベルク変奏曲の(最初と最後の)アリアのように、ジャズでいうところの「モード奏法」、クラシックでいうところの、パッサカリア、シャコンヌの様に、和声から自由であるように思えますが・・・

【追伸1】

私は、電子ピアノ持ってますが、全然弾けません。私は絶対音感が無いので、オデオで、音楽を聴いているとき、ソレが何の音か(ハ音とかへ音とか・・)を取るために、オデオに合わせてピアノで音を探す・・・

または、スコアの通りに音を発音させるのみ(つまりピアノ弾けません。ピアノの音を出すのみです)、・・・すなわち、私の「右手」と「左手」は違う動きをすることが出来ない(たとえば、モーツァルトのトルコ行進曲、全然ダメ)。
バッハの「インヴェンション ハ長調」、モーツァルトの「ソナチネ ハ長調 K545」を全然弾けません。

【追伸2】

>まずは、A と D の符号について。
>v → 0 の時に K 系と K' 系は全く同一になりますので、
>この時、x' = x、かつ t' = t とならなければなりません。
>その要請から、プラスが選ばれます。

>B の符号については、(3) 式において、
>D でプラスを選んでいるため、
>B はマイナスを選ばないと式が成立しません。

>>>式が成立しない
←私も上に同意します。しかし、私はひねくれてますので、別の考えをしたりします。
たとえば、もし、v<0だったら?

【追伸3】

またコメント頂くこと、を楽しみにしています。

以上、幼稚かつねちっこい文章失礼しました。そろそろ、時間が無くなりました(ソーリーです

こんばんは。
再びコメントさせていただきます。

まずは相対論の話から。
特に、v>0 とは限定せずに解いているはずですので、
v<0でもマイナスのまま成立すると思います。
ただし、Bの符号がマイナスというだけで、B<0とは限りません。
v<0の場合は、B>0になります。

もちろん、x軸負方向に動いていている場合にも、
vを絶対値(v>0)で定義する場合は当然符号が逆転します。
つまり、どう定義するかの問題ですね。

それから、S' から S を見た時の話ですが、
(リンク先をじっくり読んでいないので、話がずれていたらすみません)
S->S' のローレンツ変換の式を逆に (x, t) についての連立方程式として解くと、
逆変換 S'->S (x', t') -> (x, t) の式が得られます。

一方、S'からSを見ると、- v で動く慣性系になるので、
S->S' のローレンツ変換の式の v に - v を入れてやると、
ちゃんと、上記の逆変換の式と一致することが確かめられます。
このあたり、アインシュタインはすごいなあと思いますね。

そして、以前にお描きになったという図ですが、
ローレンツ変換の式を導く前提として、
「時空上の原点が一致している」としています。
(一致するように座標軸原点を決めるというのが正確ですね)
つまり、時間原点 t' = t = 0 において、2つの座標軸がちょうど重なることを
仮定しています。

描かれた上の2つの図は、t >0 のある一瞬の位置関係を表していて、
下の2つの図は、t <0 のある一瞬の位置関係を表しているのではないでしょうか?

さて、拙ブログをご覧いただきまして、ありがとうございます。
物理は確かに追求していますが(レベルはまだまだ低いのですが・・・)、
クラシックは恥ずかしながら、全く知識がなく、
KMさんのブログを拝見して、その造詣の深さにいつも感嘆しております。

ピアノも好きですが、たいして弾けません。
クラシックもピアノを始めてから、少しだけ聴くようになり、
演奏家や指揮者によって全然違うという超基本的なことすら初めて知ったぐらいです。
でも、それを知ってから、クラシックを興味深く感じるようになりました。
クラシックを熟知されているKMさんがピアノを演奏されたら、
きっとすごく内容のある深い演奏ができることでしょうね。

また、訪問させていただきますね。

dyneさん

こんばんは。KMです

コメント、有難うございました

本日も、じっくり(返信)コメントを書く時間が、私にないので、

とりあえずの返信コメント。お許し下さい。

したがって、dyneさんの第2のコメントに対する返信は、日を改めて、送信させて頂きます(汗

さて、私は、昨日から、本日にかけて、下記のようなエントリー(記事)を書いています

>>【何だかよく分からない】 ローレンツ変換の求め方(その2)/アインシュタイン著「相対性理論(原題:動いている物体の電気力学 Zur Elektrodynamik bewegter Körper)」内山龍雄訳・解説(69ページ)より

dyneさんは、内山龍雄訳「相対性理論」をお読みでしょうか?

そのなかのローレンツ変換の導き方:難しいです

ちなみに、いま現在、私は、下記URLのような図を作成し、同著書と格闘中です。

上のエントリーが完成しましたら、コメント交換致しましょう!

ではまた!

http://homepage2.nifty.com/einstein/files/lorentz_transformation_11.jpg

KMです

>まずは相対論の話から。

はい。
上記、後日、勉強させてもらいます。

==========

>>【未完成】【何だかよく分からない】 ローレンツ変換の求め方(その2)/アインシュタイン著「相対性理論(原題:動いている物体の電気力学 Zur Elektrodynamik bewegter Körper)」内山龍雄訳・解説の訳者補注 69ページより

を、アップロードしました。

私はまず、これを考え、勉強したいと思っています。
アインシュタインの原論文のローレンツ変換の求め方は、難しいですね。

なんで、分母が、√(1-v^2/c^2)ではなくて、1-v^2/c^2になるのか? 等々

こんなに難しい数学は、無理せず、解いて行きたいと思います。←なぜなら、これを考えるためには、かなり体力が要りそうだから・・・

ではまた。

Bの符号について

A=D=1/√(1-(v/c)²) だから、次の式から
vA²+c²BD=0 (3) → B=-vA²/(c²D)=-(v/c²)A

となることが分かります。

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