2017年2月27日 (月)

【メモ】 一番簡単な E=mc2の導き方。ただし「テイラー展開」を使う。広江克彦先生の「趣味で相対論」より(2016年6月29日)/【2017−2−27 追加】 佐藤勝彦先生の相対性理論(岩波基礎物理シリーズ 9)より/正直言ってスッキリしない/まだまだダメだ!

以下、広江克彦先生の「趣味で相対論」35〜39ページより無断で抜粋させて頂きます。誠に申し訳ありませんが宜しくお願い致します。

1.10 E=mc2を導く

(4元運動量)

 前節では4元速度を定義したが、4元速度は素人には使い道がないので確かにつまらない。ではこれを4元運動量に拡張してやったらどうだろう。力学で、速度と質量を掛け合わせることで運動量を定義したように、4元速度と質量を掛け合わせることで「4元運動量」を作るのだ。これには意外な結果が待っている。
 しかし運動量を作るために4元速度と質量を掛け合わせただけでは不都合がある。それは単位の次元の問題である。普通の速度は距離を時間で割ったものだが、4元速度は距離を「固有時」で割ったものである。固有時は時間に光速度 c を掛けて長さの単位に合わせたものであった。つまり、4元速度は長さを長さで割っていることになるので無次元量になってしまっている。時間を長さの単位で表すために掛けた光速度 c の分だけ割りすぎているのである。そこで4元運動量を定義する際に、その分を掛けて単位をちゃんと普通の運動量の単位に合わせておくことにしよう。
 本来こういうことは4元速度の定義のところで光速度 c を掛けて調整しておくべきなのだが、今回は話の流れ上、私が学生時代に愛読していた本に従った。それで、そのツケが4元運動量の定義の部分に回ってきただけの話である。教科書によってはちゃんと4元速度に光速度 c を掛けて定義してあるものもある。
 とにかく、次のように4元運動量 (p0, p1, p2, p3) を定義しよう。

(p0, p1, p2, p3)=(mcu0, mcu1, mcu2, mcu3)

これは4元速度に mc を掛けただけなので当然次のような組み合わせは不変量になる。

(mc)2=(p0)2-(p1)2-(p2)2-(p3)2

 前に出てきた 4 元速度についての式の両辺に (mc)2 を掛けてやっただけだ。この式はしっかり意味を考えて見なくてはならない。p のすぐ右上についている数字はべき乗を表すのではなく、ただの添え字である。そして、括弧の外についている「2」は、2 乗を表している。

<--- 当ブログ開設者より ココから --->

おそらく、33ページの

2=dw2-dx2-dy2-dz2

1=(dw/dτ)2-(dx/dτ)2-(dy/dτ)2-(dz/dτ)2

の両辺に (mc)2 を掛けた

(ただし、w=ct)

<--- 当ブログ開設者より ココまで --->

(中略)

(mc)2=(p0)2-p2

 残る問題は「では p0 の正体は何でしょう?」という点だけである。それを探ってやるために、この式を p0 について解くことをしてやれば、

p0=√(mc)2+p2
=mc√1+p2/(mc)2

さらにこのルートの中身は p2 が (mc)2 に比べて非常に小さい時には次のような近似で展開できる。こういう計算に慣れていない人は微分の教科書で「テイラー展開」なんかの項目を参考にして欲しい。

p0=mc(1+p2/2(mc)2+...)
=mc+p2/2mc+...

ここまで来たら、そろそろ気付いて欲しいものだ。この式の右辺の第2項は力学に出てくる運動エネルギーの式

E=(1/2)mv2=p2/2m

に似ている、と。ただ分母に c が余分なだけである。すると、この式全体に c を掛けてやれば、これはエネルギーについての式になるのではないか。

E=p0c=mc2+p2/2m...

 ここで p0 の正体は「物体の持つ全エネルギー E を c で割ったもの」だったのだ、と解釈することにしよう。もし、p=0 であるならば、物体が動いていない時のエネルギーを表しており、それが E=mc2 となるわけだ。有名な公式はこうして導かれるのである。しかし当時、この式を根拠にして「物体は静止しているだけでエネルギーを持つ」と言い切ってしまうのはなかなか勇気の要る事だったろうと思う。

 すぐ上の式は運動量が 0 に近いときの近似式に過ぎないので、どんな場合にでも成り立つ正確な表現にしたければ、次のように書くべきだろう。

E2=(mc2)2+(pc)2

 この式は非常に面白い。と言うのも、もし、m=0 だとすると E=pc となるが、これは電磁気学で導かれるところの、電磁波の持つ運動量とエネルギーの関係式と同じになっているのである。このことから光の質量は0であると考えられるようになった。光のエネルギーと物質のエネルギーが一つの式でまとまめて表わされるようになったというわけだ!

 いや、しかし質量とは何だったろうか。それはニュートン力学で定義された概念であって、加速も減速もしないような光に対してはそもそも当てはめることのできない考えだったはずなのだ。だから光の質量などと言うのは、どうにもおかしなお話である。

 ところが20世紀初めには光を「質量0の粒子」であると受け入れることで、大変都合良く素粒子を分類できたのである。質量が小さい粒子ほど、ほんの小さなエネルギーだけで光速度近くまで加速してしまい、めったに止まることがない。光の粒子というのはそのような状態の極限的存在であると考えることにしても話が合うわけだ。要するに、光の質量は「便宜上」0なのである。

(2016年6月29日)

(下に続く)

» 続きを読む

2017年2月22日 (水)

(C) Apple Music Bach: Kunst der Fuge Ann-Helena Schlüter

私は、バッハの「フーガの技法」が苦手である。
難しすぎるから。
ヒューイット盤シュ・シャオメイ盤もピンと来なかった。

下記、アン=ヘレナ・シュリューター盤を、Apple Music にて試聴したところ、肩の凝らない楽しい演奏であるように聴こえたので、買おうかな。
ただし、この商品は、
HMV.co.jp には見当たらない。
Amazon.co.jp では「マーケットプレイス」の出品者からしか買えない(2017年2月22日現在)。

Fugue

(C) Apple Music Bach: Kunst der Fuge Ann-Helena Schlüter 【検索キーワード】 Bach Schlüter

2017年2月19日 (日)

【memo】 ローレンツ変換の行列表現と「基本テンソル」/いまだに、テンソルという物が、分からない〜(続き)/添字の使い方・・・が、分からん

(http://koshiro-m.cocolog-nifty.com/blog/2017/01/post-aed9.html の続き

==

これは前にも書いたが・・・私は電子ピアノを持っている。が、私はそれを弾けない。しかし「ある日突然、ある曲の一部が弾けるようになった」という経験も皆無ではない・・・ので、以下にメモって置く。そうすれば「ある日突然、分かる」ということもあるかも知れない。


「アインシュタインの規約(Einstein summation convention)」には、ほんの少し慣れてきたが、下記の演算はまだ分からない(汗;;



Tensor_4

なんで、これを、

Tensor_2

と、書くのか・・・

(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店 114ページより)


Tensor_6

(下に続く)

» 続きを読む

2017年2月18日 (土)

【メモ】 ダニエル・フライシュ著「物理のためのベクトルとテンソル」より「テンソルの応用」「慣性テンソル」をコピーする/このエントリーは完結しない/そして不完全

このエントリーは完結しない。そして不完全。
だがメモとして。
とにかく、ブログに掲載し、それを眺めていると、分からないことが分かるかも知れない。
手段として。


ダニエル・フライシュ(Daniel Fleisch)著「物理のためのベクトルとテンソル」181ページの「6 テンソルの応用」「6.1 慣性テンソル」より。

慣性モーメント = (回転運動の場合の)質量のアナロジー

位置(x) = 角度(θ)
速度(v) = 角速度(ω
加速度(a) = 角加速度(α
力(F) = トルク(τ
質量(m) = 慣性モーメント(I)
運動量(p) = 角運動量(L


ニュートンの運動方程式
F = ma ---> τ = Iα


並進運動の運動量  p = mv
角運動量      Lz = Iω


v = ωr (角速度×半径)なので
角運動量 Lz = mvr は
Lz = mvr = mr2ω
mr2 をこの1粒子の慣性モーメント(I)として
Lz = Iω
ただし、この角運動量の2つの式に含まれる v と ω は速度ベクトルではなくスカラー


速度 v と角速度 ω と 位置ベクトル r の間にはベクトル積で表される

v = ω×r

という一般的な関係があります。この×印はベクトル積

また、角運動量 L を運動量 p(あるいは速度 v と質量 m)に関係づける式は

L = r×p = r×(mv) = mr×v・・・(6.2)

今日はここまで。

(下に続く)

» 続きを読む

John Cage As it is

Cage

John Cage (1912-1992)
As it is
Alexei Lubimov, Piano, Prepared Piano
Natalia Pschenitschnikova, Voice
Recorded December 2011
ECM


Track list

1. Dream (1948) (Alexei Lubimov) 08:28

2. The Wonderful Widow of Eighteen Springs (1942) (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 03:02
Words by James Joyce

3. The Unavailable Memory of (1944) (Alexei Lubimov) 03:29

4. A Flower (1950) (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 03:31

5. Music for Marcel Duchamp (1947) (Alexei Lubimov) 06:20

6. Experiences No. 2 (1948) (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 03:33
Words by E. E. Cummings

7. A Room (1943) (Alexei Lubimov) 02:11

8-10. Three Songs (1932-33)
Words by Gertrude Stein
I. Twenty years after (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 00:30
II. Is it as it was (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 00:55
III. At East and ingredients (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 01:23

11-12. Two Pieces for Piano (1946)
I (Alexei Lubimov) 05:03
II (Alexei Lubimov) 05:19

13-17. Five Songs (1938)
Words by E. E. Cummings
1. little four paws (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 01:42
2. little Christmas tree (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 03:37
3. in Just- (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 01:11
4. hist whist (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 00:59
5. Tumbling hair (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 01:06

18. Prelude for Meditation (1944) (Alexei Lubimov) 01:25

19. She is Asleep (1943) (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 07:49

20. Nowth upon nacht (1984) (Alexei Lubimov, Natalia Pschenitschnikova) 01:22
Words by James Joyce

21. Dream, var. (Alexei Lubimov) 08:25

Total Time 71:31


ジョン・ケージ:『アズ・イット・イズ〜ピアノ作品集、声楽作品集』

・『夢』
・『18回の春を迎えた陽気な未亡人』
・『…の思い出せない記憶』
・『花』
・『マルセル・デュシャンのための音楽』
・『エクスペリエンス第2番』
・『部屋』
・『3つの歌曲』
・『ピアノのための2つの小品』
・『5つの歌曲』
・『瞑想への前奏曲』
・『彼女は眠っている』
・『危険な夜』
・『夢』

 アレクセイ・リュビモフ(ピアノ、プリペアド・ピアノ)
 ナターリア・プシェニチニコーヴァ(ヴォーカル)

 録音時期:2011年12月
 録音場所:スイス・ドイツ語放送チューリッヒ放送局スタジオ
 録音方式:ステレオ(デジタル/セッション)

(HMV.co.jp より)


こういう音楽は、本当は何も考えないで聴くのが良いのだろうけど、一応、作曲年は分かっている方が良いと思ったので、英語版ウィキペディア(List of compositions by John Cage)で、作曲年を調べて、それを上記にコピーした。が、間違いがあるかも知れない(当アルバムのブックレットには作曲年は書いてない)。


私は、プリペアド・ピアノというのは嫌いだったが、これは気に入った。その理由は、多分、このアルバムの選曲が良いからだろう・・・すなわち、このアルバムはプリペアド・ピアノの曲だけからなるのではなく、それ以外の曲を混ぜ合わせてある(←このアルバムが、プリペアド・ピアノの曲だけのアルバムだったら、それは美しく聴こえなかっただろう)。

HMV.co.jp の商品説明「ミニマル独特の静謐さを湛えた作品が、深い洞察と類い稀なる表現力で奏でられていきます」と書いてあるが、その通りである:たとえば、スティーヴ・ライヒのミニマル・ミュージックが「(私の主観では)ある種の実験的音響空間」のようなものであるのに対し、ケージのミニマルは「ミニマルの良さを取り入れたもの」(←もしかしたら、それは、モートン・フェルドマンの「繰り返し」に近いものかも知れない)。

ナターリア・プシェニチニコーヴァ(Natalia Pschenitschnikova ←名前が難しい)は「フルート奏者」であるとのことだが(HMV.co.jp の商品説明参照)、確かに、彼女の歌唱は「弱く、貧弱な肺活量で」効果的な音(声)を出しているように聴こえる(たとえばフルートで弱音を発音するように)。軽やかである。

以上を補足すれば、このアルバムは(ありきたりな言葉だが)異次元的。


【各作品について】

・第2曲(Track 2)のリュビモフのプリペアド・ピアノの音は、ほぼ打楽器的。
・第3、5曲(Track 3, 5)は、やや東洋的。
・第4曲(Track 4)は、歌詞のない歌曲。伴奏はものを叩く音。美しい。
・第6曲(Track 6)はやや宗教曲的(スピリチュアル?)。
・第7曲(Track 7)は純ミニマル、非常に打楽器的。
・第9曲「Two Pieces for Piano (1946)」(Track 11-12)は、10分を超える。このアルバムの中では最も長い曲・・・だがこの曲の印象は薄い。
・「Five Songs (1938)」(Track 13-17)も印象薄い(ちなみに、このアルバムにおいて、それぞれの歌曲の歌詞(ジェイムズ・ジョイス、E・E・カミングス、ガートルード・スタイン)も味わうべきだが、私の語学力ではそれができない。英語に堪能な方は、それらの歌曲における音楽と詩の結びつきが分かるかも知れない)。
・「She is Asleep (1943)」(Track 19)は歌詞のない歌曲。シュールな曲。
・「Nowth upon nacht (1984)」(Track 20)は爆発音で始まる(スピーカの音量を大きくしていたらスピーカが壊れそう)。このアルバムの中で唯一強烈な表現・・・ジョイスの詩が、叫びのように歌われてる。

«ラグナ・シルマーのシュニトケ(その2)

2017年2月
      1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28        

カテゴリー

無料ブログはココログ